a≠b,求证:|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|<|a-b|

|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|≤|(b^2-a^2)/((1+a^2)(1+b^2))|
≤|(a+b)/((1+a^2)(1+b^2))|*|a-b|,
≤|(a+b)|/|((1+a^2)(1+b^2))|*|a-b|,
≤(|a|+|b|)/|((1+a^2)(1+b^2))|*|a-b|,(1)
由2|a|≤1+a^2,得|a|/(1+a^2)<1/2,又(1+b^2))<1,故得|a|/((1+a^2)(1+b^2))<1/2,
同理|b|/((1+a^2)(1+b^2))<1/2,两式相加得
(|a|+|b|)/((1+a^2)(1+b^2))<1, (2)
由(1)(2)式即得|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|<|a-b|

用拉格朗日中值定理来证：

设函数 f(x)= 1/(1+ x^2)，可求得其导数为 f '(x)= -2x/(1+ x^2)^2
因为a≠b，不妨设 a<b，
显然f(x)在 闭区间 [a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，
因此，至少存在一点 ξ∈（a，b），使得
f(a)-f(b) = f '(ξ)(a-b)
两边取绝对值，得
|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)| =|-2ξ / (1+ ξ^2)^2| *|a-b|

<=|(1+ξ^2)/(1+ ξ^2)^2| *|a-b|

= | 1/(1+ ξ^2)| *|a-b| < |a-b| 证毕

因为a^2大于或等于0，
所以1+a^2>或=0
所以1/(1+a^2)>0，<a
因为b^2大于或等于0，
所以1+b^2>0
所以0<1/(1+b^2)<b
因为1/(1+a^2)-1/(1+b^2)中a^2,b^2
所以|a^2-b^2|>|a-b|
所以|1/(1+a^2)-1/(1+b^2)|<|a-b